Existence globale, stabilité et explosion en temps fini des solutions de certaines équations d'évolution non linéaires

Abstract

Dans cette thése, nous nous int´eresserons `a l’étude de l’existence globale, de la stabilité et de l’explosion en temps fini des solutions pour certaines équations d’évolution non linéaires. Cette thése est divisée en six chapitres: Dans le premier chapitre, nous rassemblons quelques notions et résultats d’analyse fonctionnelle. Ces résultats sont nécessaires pour développer de nouveaux arguments. Nous présentons dans les cinq autres chapitres nos principaux résultats. Dans le deuxiéme chapitre, nous considérons une équation de Petrovsky quasi-linéaire avec une dissipation non linéaire localisée, nous prouvons l’existence et l’unicité de la solution globale, et nous étudions également le comportement asymptotique des solutions, sous des hypothéses de croissance appropriées. Dans le troisiéme chapitre, nous nous intéressons `a l’étude dune équation d’onde localement amortie de type Kirchhoff dans un domaine borné. L’amortissement est non linéaire et est localisé dans un sous-ensemble ouvert approprié du domaine considéré, nous prouvons l’existence globale de solutions faibles du probl`eme et nous estimons la décroissance de l’énergie. Le chapitre quatre est consacré à une équation d’onde non linéaire d’ordre supérieur avec un terme source non linéaire et un terme de retard nous prouverons l’existence globale et donnons un résultat de décroissance générale de l’énergie. Dans le cinquiéme chapitre nous considérons une équation de Petrovsky non linéaire avec amortissement interne non linéaire et un terme de retard, nous prouverons l’existence de solutions globales, et nous estimons la décroissance de l’énergie. Dans le chapitre six, nous étudions l’équation de plaque viscoélastique non linéaire avec un terme de retard, nous prouverons qu’il existe des solutions à énergie initiale négative qui explosent en temps fini, et nous donnerons les estimations pour le temps dexplosion T*. L’approche la plus courante pour analyser nos problémes est d’utiliser la méthode FaedoGalerkin pour établir l’existence globale. Ensuite, en utilisant une énergie perturbée appropriée couplée `a une technique de multiplicateur pour étudier le comportement asymptotique des solutions.