Fonctions Convexes et les Barycentres dans des Variétés Différentielles

Abstract

Cette thèse étudie les barycentres et les moyennes de Fréchet sur les variétés riemanni-ennes, dans le but de généraliser la notion classique de moyenne aux données situées sur des espaces géométriques non linéaires. En s’appuyant sur les propriétés des fonctions convexes et géodésiquement convexes, elle introduit la notion de barycentre convexe dans ce cadre. Les résultats théoriques sont appliqués à des variétés matricielles importantes, notam-ment la variété de Stiefel, la variété de Grassmann et la variété des matrices symétriques définies positives (SPD), largement utilisées en analyse statistique et en traitement de données géométriques. La thèse propose également des méthodes numériques et des algorithmes géodésiques permettant de calculer efficacement les barycentres riemanniens, en exploitant la structure géométrique des variétés. Une application majeure concerne l’analyse du risque sur les marchés financiers. Les matrices de covariance, représentant les dépendances entre actifs, sont modélisées comme des points sur la variété SPD. Le barycentre riemannien fournit alors une estimation robuste de la structure globale du marché, permettant d’évaluer le risque structurel, d’analyser l’évolution des corrélations et de mieux comprendre la dynamique des marchés financiers.